Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且满足cos=，•=3，b+c=6
（I）求a的值；
（II）求的值．

Answer

（I）利用二倍角的余弦函数公式化简cosA，将已知的cos代入求出cosA的值，再利用平面向量的数量积运算法则化简•=3，将cosA的值代入求出bc的值，再由b+c的值，两者联立求出b与c的值，由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；
（II）由三角形的内角和定理得到B+C=π-A，代入所求的式子中，利用诱导公式化简，整理后再利用诱导公式化简，得到关于cos2A的式子，由cosA的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos2A的值，代入化简后的式子中即可求出原式的值．
【解析】
（I）∵cos=，
∴cosA=2cos2-1=，
又•=3，即bccosA=3，
∴bc=5，又b+C=6，
∴b=5，c=1或b=1，c=5，
由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=20，
∴a=2；
（II）
==
==
=-=-，
∴cosA=，∴cos2A=2cos2A-1=-，
∴原式=-=．