Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x²+6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，则的取值范围是    ．

Answer

由函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2-6x+21）+f（y2-8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x-3）2+（y-4）2＜4，借助于的有关知识可求．
【解析】
∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）
又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2-6x+21）+f（y2-8y）＜0恒成立
∴（x2-6x+21）＜-f（y2-8y）=f（8y-y2 ）恒成立
∴x2-6x+21＜8y-y2
∴（x-3）2+（y-4）2＜4恒成立
设M （x，y），M表示以（3，4）为圆心2为半径的圆内的任意一点，
则x2+y2表示在圆内任取一点与原点的距离的平方
∴3＜＜7
故答案为：（3，7）