Question

已知函数．
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，求函数f（x）的解析式；
（2）当a＞0且a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a=3时，若方程f（x）=0有三个根，求b的取值范围．

Answer

（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）求导函数，比较导函数等于0的方程根的大小，从而分类讨论，确定函数的单调性；
（3）求导函数，确定函数的单调性与极值，要使方程f（x）=0有三个根，，f（x）极小值=f（1）=b＜0，即可求得b的取值范围．
【解析】
（1）求导函数得f′（x）=ax2-（a+1）x+1
∵若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=5x-4
∴f′（2）=4a-2（a+1）+1=5
∴2a=6，∴a=3
∵点P（2，f（2））在切线方程y=5x-4上
∴f（2）=5×2-4=6，∴2+b=6，∴b=4
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x3-2x2+x+4；
（2）f′（x）=ax2-（a+1）x+1=
①当0＜a＜1，即时，函数f（x）在区间（-∞，1）及（，+∞）上为增函数；在区间（1，）上为减函数；
②当a＞1，即时，函数f（x）在区间（-∞，）及（1，+∞）上为增函数；在区间（，1）上为减函数；
（3）由（2）得，函数f（x）在区间（-∞，）及（1，+∞）上为增函数；在区间（，1）上为减函数；
∴，f（x）极小值=f（1）=b
∵方程f（x）=0有三个根，
∴，f（x）极小值=f（1）=b＜0
∴
∴b的取值范围为．