Question

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=λa_n-1+λ-2（n≥2）．
（1）当λ为何值时，数列{a_n}可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；
（2）若λ=3，求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer

（1）根据an=λan-1+λ-2，可得a2，a3的值，利用数列{an}可以构成公差不为零的等差数列，可求λ的值，从而可求数列的通项公式；
（2）当λ=3时，an=3an-1+1，即an+=3（an-1+），构造新数列bn=an+，可得数列{bn}构成首项为b1=，公比为3的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式an．
【解析】
（1）a2=λa1+λ-2=2λ-2，a3=λa2+λ-2=2λ2-2λ+λ-2=2λ2-λ-2，
∵a1+a3=2a2，∴1+2λ2-λ-2=2（2λ-2），得2λ2-5λ+3=0，解得λ=1或λ=．
当λ=时，a2=2×-2=1，a1=a2，故λ=不合题意舍去；
当λ=1时，代入an=λan-1+λ-2可得an-an-1=-1，
∴数列{an}构成首项为a1=1，d=-1的等差数列，
∴an=2-n．
（2）当λ=3时，an=3an-1+1，即an+=3（an-1+），
令bn=an+即bn=3bn-1，
∴数列{bn}构成首项为b1=，公比为3的等比数列，
∴bn=×3n-1=，
∴an=-