Question

已知函数在x=1处取得极值．
（1）求b、c的值；
（2）若关于x的方程f（x）-t=0在区间上有实根，求实数t的取值范围．

Answer

（1）求导函数，利用函数在x=1处取得极值，建立方程组，即可求得b、c的值；
（2）关于x的方程f（x）-t=0在区间上有实根，即求数f（x）在区间上的值域．由（1）得：，f′（x）=x2-1=（x+1）（x-1），确定函数的单调区间，进而可得函数f（x）在区间上的值域为[-4，]，由此可得．
【解析】
（1）求导函数，可得f′（x）=x2+4bx+c
∵函数在x=1处取得极值．
∴，∴
（2）由（1）得：，f′（x）=x2-1=（x+1）（x-1）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜1；
∴函数的单调增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；单调减区间是（-1，1）
∴函数在x=-1处，取得极大值为；函数在x=1处，取得极小值为
∵
∴函数f（x）在区间上的值域为[-4，]
关于x的方程f（x）-t=0在区间上有实根，则实数t的取值范围是[-4，]．