Question

如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．
（Ⅰ）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；
（Ⅱ）证明BD∥面PEC；
（Ⅲ）求面PEC与面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．

Answer

（Ⅰ）由几何体的三视图确定几何体的形状，证明AF⊥面PCD，利用线面垂直的判定定理，即证CD⊥AF，PD⊥AF；
（Ⅱ）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，连接MN，EM，证明四边形BEMN为平行四边形，可证BD∥面PEC；
（Ⅲ）分别以BC，BA，BE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PCD的一个法向量=（-2，0，-2），平面PEC的法向量，利用向量的数量积公式可求结论．
【解析】
（Ⅰ）由几何体的三视图可知，几何体为底面ABCD是边长为4的正方形，且PA⊥面ABCD，PA∥EB，PA=2EB=4．
∵PA=AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF，
又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，
∴CD⊥面ADP，
∵AF⊂面ADP，∴CD⊥AF．
∵CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD．-------------（4分）
（Ⅱ）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，连接MN，EM
∴MN=PA，MN∥PA，
∴MN=EB，MN∥EB，故四边形BEMN为平行四边形，
∴EM∥BN，又EM⊂面PEC，∴BD∥面PEC．-------------（7分）
（Ⅲ）分别以BC，BA，BE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（ 4，0，0），D（4，4，0），E（0，0，2），A（0，4，0），P（0，4，4），
∵F为PD的中点，∴F（2，4，2）．
∵AF⊥面PCD，∴为面PCD的一个法向量，=（-2，0，-2），设平面PEC的法向量为=（x，y，z），
则，∴
令x=1，∴，-------------（10分）
∴
∴与的夹角为
∴面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值为．-------------（12分）