Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AA₁=2，∠ACB=90°，M是AA₁ 的中点，N是BC₁的中点 
（1）求证：MN∥平面A₁B₁C₁；
（2）求点C₁到平面BMC的距离；
（3）求二面角B-C₁M-A₁的平面角的余弦值大小．

Answer

（1）由直三棱柱的几何特征，取B1C1中点D，连接ND、A1D，易得四边形A1MND为平行四边形，然后由线面平行的判定定理得到MN∥平面A1B1C1；
（2）可证BC⊥平面A1MC1，在平面ACC1A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，所以C1H为点C1到平面BMC的距离，在等腰三角形CMC1中，可求C1H的长．
（3）在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F，则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，可得BEF为二面角B-C1M-A的平面角，在等腰三角形CMC1中，可求∠BEC，即可求得∠BEF，从而可求二面角B-C1M-A1的平面角的余弦值．
（1）证明：如图所示，取B1C1中点D，连接ND、A1D，则DN∥BB1∥AA1
又DN=BB1=AA1=A1M，∴四边形A1MND为平行四边形．
∴MN∥A1D  
又 MN⊄平面A1B1C1，AD1⊂平面A1B1C1
∴MN∥平面A1B1C1；
（2）【解析】
直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥平面A1MC1，
在平面ACC1A1中，过C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，所以C1H为点C1到平面BMC的距离
在等腰三角形CMC1中，C1C=2，CM=C1M=
∴C1H=．
（3）【解析】
在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E，A1C1于点F，则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，
∴BE⊥C1M，∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角，
在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=，
∴tan∠BEC=
∴∠BEC=arctan，∴∠BEF=π-arctan，
∴cos∠BEF=
即二面角B-C1M-A1的平面角的余弦值为