Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别是棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求二面角B-A₁D-A的大小；
（2）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定F的位置并证明结论；若不存在，说明理由．

Answer

解法一：（1）分别延长AC，A1D交于G，过C作CM⊥A1G 于M，∠GMB为二面角B-A1D-A的平面角．在Rt△CDG中求解即可．
（2）在线段AC上存在一点F，F为AC中点．证明时如下过程：由（1），BC⊥平面A1C1CA，得出B1C1⊥平面A1C1CA，EF在平面A1C1CA内的射影为C1F，得出F为AC中点，同理可证EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，F为垂足．
解法二：（1）如图建系C-xyz．分别求出平面BA1D，A1DA的一个法向量，利用两法向量的夹角求解．
（2）设F（0，y，0），欲使EF⊥平面A1BD，当且仅当∥，列出关于a的方程并求解即可．
【解析】
法一
（1）分别延长AC，A1D交于G，
∵BC⊥平面ACC1A1，过C作CM⊥A1G 于M，…（2分）
连接BM，∴BM⊥A1G，
∴∠GMB为二面角B-A1D-A的平面角，…（4分）
平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点，
∴CG=2，DC=1，在Rt△CDG中，，
∴，
∴二面角B-A1D-A的大小为．…（6分）
（2）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD，F为AC中点…（8分）
证明如下：∵A1B1C1-ABC为直三棱柱，∴B1C1∥BC，
∵由（1），BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA，
∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F，∵F为AC中点，
∴C1F⊥A1D，∴EF⊥A1D，…（10分）
同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A1BD，
∵E为定点，平面A1BD为定平面，∴点F唯一．…（12分）
法二
【解析】
（1）∵A1B1C1-ABC为直三棱柱，AC⊥CB，∴如图建系C-xyz．
∵C1C=CB=CA=2，D、E分别为C1C、B1C1的中点．
C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），
B1（2，0，2），A1（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2），
设平面A1BD的一个法向量为，
∵=（-2，0，1），，
∴，∴取=（1，-1，2）为平面A1BD的一个法向量．
又∵平面A1DA的法向量为=（1，0，0），
∴，
∴二面角B-A1D-A的二面角为．
（2）∵F在线段AC上，∴设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD，
欲使EF⊥平面A1BD，当且仅当∥，
∵=（1，-1，2），=（1，-y，2），∴y=1，
∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件，即点F为AC中点．