Question

已知函数f（x）=x²-mx-lnx，m∈R
（1）若m=2，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若m≥1，函数在f（x）在x=x处取得极值，求证：1≤x≤m．

Answer

（1）将m=2，代入我们易根据已知中函数f（x）=x2-mx-lnx，m∈R，求出函数的导函数的解析式，然后利用导函数值大于等于0，函数单调递增，求出函数的单调递增区间；
（2）若m≥1，函数在f（x）在x=x处取得极值，我们易求出，由m≥1，我们易根据不等式的性质得到1≤x≤m．
【解析】
（1）当m=2时，f（x）=x2-2x-lnx，
定义域为{x|x＞0}（2分）
则，（4分）
解得（5分）
所以函数h（x）的单调增区间为（6分）
（2）∵x＞0，，等价于：2x2-mx-1=0，
此方程有且只有一个正根为，
且当x∈（0，x）时，h'（x）＜0；当x∈（x，+∞）时，h'（x）＞0，
则函数f（x）=x2-mx-lnx在x=x处取得极值．
当m≥1时，关于m在[1，+∞）递增，．
要证x≤m，即证，
也即，3m，
∵＞0，3m＞0，
只要m2+8≤9m2，8≤8m2，1≤m2，
只需m≥1，该式显然成列，所以结论成立．