Question

已知函数．
（1）求函数y=f（x）的图象在处的切线方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）比较2009²⁰¹⁰与2010²⁰⁰⁹的大小，并说明为什么？

Answer

（1）欲求在处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）研究函数f（x）在定义域上的单调性，从而求出函数的最值；
（3）根据函数在（e，+∞）上为减函数，则，化简变形可得所求．
【解析】
（1）∵f（x）定义域为（0，+∞）
f（x）的导数为
∵，
又∵，
∴函数y=f（x）在处的切线方程为：，
即：y=2e2x-3e
（2）∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上为减函数；
∴．
（3）∵2009，2010∈（e，+∞），且2009＜2010，
又∵在（e，+∞）上为减函数，
∴，
∴2010ln2009＞2009ln2010，
∴ln20092010＞ln20102009，
∴20092010＞20102009