Question

设函数f（x）=x²+aln（1+x）有两个极值点s，t，且s＜t．
（1）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：．

Answer

（1）由f（x）=x2+aln（1+x），知，x＞-1．令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为x=-，由题意知s，t是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，由此能够讨论f（x）的单调性．
（2）由题设和（1）知：g（0）=a＞0，故，由g（t）=0，知a=-2t2-2t=-2t（1+t），故f（t）=t2-2t（1+t）ln（n+t），设h（x）=，由此能够证明．
【解析】
（1）∵f（x）=x2+aln（1+x），
∴，x＞-1．
令g（x）=2x2+2x+a，
其对称轴为x=-，
由题意知s，t是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
∴，解得0＜a＜．
当x∈（-1，s）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（-1，s）上为增函数，
当x∈（s，t）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（t，+∞）上为增函数．
（2）证明：由题设和（1）知：g（0）=a＞0，
∴，
∵g（t）=0，
∴a=-2t2-2t=-2t（1+t），
∴f（t）=t2+aln（1+t）
=t2-2t（1+t）ln（n+t），
设h（x）=
则h′（x）=-2（2x+1）ln（1+x），

当x时，h′（x）≥0，
∴h（x）在x上单调递增．
当-时，
h（x）＞h（-）=，
∴．