Question

下面四个不等式：
（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）a（1-a）≤；
（3）+≥2；
（4）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
其中恒成立的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

作差，进而可以因式分解，从而得到完全平方式，故可证（1）（4），根据基本不等式可证（2），（3）可利用取特殊值进行判定．
【解析】
（1）a2+b2+c2-ab-ac-bc
=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
=[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]
=[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]≥0，故恒成立；
（2）a（1-a）≤=，故恒成立；
（3）当a=1，b=-1时，不等式不成立，故不恒成立；
（4）∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-（a2c2+b2d2+2acbd）
=a2d2+b2c2-2acbd=（ad-bc）2≥0则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，故恒成立；
故选C．