Question

已知f（x）=2x³-6x²+a（a为常数）在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的值域是（ ）
A．[-37，3]
B．[-29，3]
C．[-5，3]
D．以上都不对

Answer

先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（-2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出a，通过比较两个端点-2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．
【解析】
由已知，f′（x）=6x2-12x，由6x2-12x≥0得x≥2或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（-∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[-2，2]，
所以得，当x∈[-2，0]时f（x）为增函数，
在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以f（x）max=f（0）=a=3，故有f（x）=2x3-6x2+3
所以f（-2）=-37，f（2）=-5
因为f（-2）=-37＜f（2）=-5，所以函数f（x）的最小值为f（-2）=-37．
从而值域为[-37，3]
故选A