Question

已知函数f（x）=x³+ax^•2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为．若时，y=f（x）有极值．
（1）求a、b、c的值；
（2）设g（x）=x³+k+8lnx，若关于x的方程f（x）=g（x）在[1，e]内有且只有一个实数根，求实数k的取值范围．

Answer

（1）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，对其进行求导，求出其在x=1处的斜率，求出其极值点，然后求出切线l的解析式，再根据点到直线的距离，切线l不过第四象限，得到m、a、b、c的值；
（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2-4x+5，方程f（x）=g（x）可化为：2x2-4x-81nx+5=k，设h（x）=2x2-4x-8lnx+5（x＞0），对其进行求导，得到其单调区间，从而求实数k的取值范围．
【解析】
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f'（x）=3x2+2ax+b．
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．…①
当时，y=f（x）有极值，则，可得4a+3b+4=0…②
由①、②解得a=2，b=-4．设切线l的方程为y=3x+m
由原点到切线l的距离为，则．
解得m=±1
∵切线l不过第四象限，
∴m=1，
∴切线方程为y=3x+1，
由于l切点的横坐标为x=1，
∴f（1）=4，
∴1+a+b+c=4，
∴c=5
∴a=2，b=-4，c=5
（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2-4x+5，
方程f（x）=g（x）可化为：2x2-4x-81nx+5=k．
设h（x）=2x2-4x-8lnx+5（x＞0），
则．
令h′（x）=0，得x=2（负值舍去）．

x [1，2） 2 （2，e]
h'（x） - O +
h（x）
↘ 极小值
↗

∴h（x）在x=2处取得极小值h（2）=5-8ln2．
又h（1）=3，h（e）=2e2-4e-3，且h（e）＜h（1）．
∴h（x）的大致图象如右图：
∴由图知，当k=5-8ln2或2e2-4e-3＜k≤3时，方程f（x）=g（x）在[1，e]内有且只有一个实数根．