Question

已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x
（1）求f（x）．
（2）当时，求f（2^x）的最大值与最小值．

Answer

（1）利用待定系数法，假设二次函数，结合f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x，即可求出函数的解析式；
（2）利用换元法，转化为二次函数，利用配方法，结合函数的单调性，即可求出f（2x）的最大值与最小值．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c，因为f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x，
所以a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x-1）2+b（x-1）+c=2x2-4x
所以2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x…（3分）
故有即，所以f（x）=x2-2x-1…（6分）
（2）当时，，f（2x）=（2x）2-2•2x-1…．（8分）
令t=2x，，所以y=t2-2t-1=（t-1）2-2…（10分）
∴函数在上是单调增函数，
所以当时，；当t=4时，ymax=7…（12分）