Question

△ABC中，=（sinA，cosC），=（cosB，sinA），•=sinB+sinC．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC的周长的取值范围．

Answer

（1）利用向量的数量积，结合正、余弦定理转化为边之间的关系，即可证得△ABC为直角三角形；
（2）设△ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c，根据△ABC外接圆半径为1，A=，可得a=2，从而b+c=2（sinB+cosB）=2•sin（B+），故可求b+c的取值范围，从而可求△ABC周长的取值范围．
（1）证明：∵=（sinA，cosC），=（cosB，sinA），•=sinB+sinC，
∴sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC．
∴由正弦定理得：acosB+acosC=b+c
由余弦定理得a•+a•=b+c，
整理得（b+c）（a2-b2-c2）=0．
∵b+c＞0，
∴a2=b2+c2，故△ABC为直角三角形．
（2）【解析】
设△ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c．
∵△ABC外接圆半径为1，A=，∴a=2，
∴b+c=2（sinB+cosB）=2•sin（B+）．
∵0＜B＜，∴＜B+＜，
∴2＜b+c≤2，∴4＜a+b+c≤2+2，
故△ABC周长的取值范围为（4，2+2]．