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某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产一百台,需要新增...

某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产一百台,需要新增加投入2.5万元.经调查,市场一年对此产品的需求量为500台;销售收入为R(t)=6t-manfen5.com 满分网t2(万元),(0<t≤5),其中t是产品售出的数量(单位:百台).
(说明:①利润=销售收入-成本;②产量高于500台时,会产生库存,库存产品不计于年利润.)
(1)把年利润y表示为年产量x(x>0)的函数;
(2)当年产量为多少时,工厂所获得年利润最大?
(1)利润函数y=销售收入函数R(x)-成本函数,讨论x的大小,利用分段函数表示出年利润y表示为年产量x(x>0)的函数; (2)由利润函数是分段函数,分段求出最大值,利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值,比较两段的最大值即可求出所求. 【解析】 (1)当0<x≤5时 f(x)=6x-x2-0.5-2.5x =-x2+3.5x-0.5(3分) 当x>5时 f(x)=6×5-×52-0.5-2.5x=17-2.5x(5分) 即f(x)=(6分) (2)当0<x≤5时 f(x)=-(x2-7x+1)=-(x-)2+(9分) ∴当x=3.5∈(0,5]时,f(x)max==5.625 当x>5时,f(x)为(5,+∞)上的减函数 f(x)<f(5)=17-2.5×5=4.5 又5.625>4.5(11分) ∴f(x)max=f(3.5)=5.625 故当年产量为350台时,工厂所获年利润最大.(12分)
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考点分析:
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已知函数f(x)=2|x|-2.
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)由图象指出函数的单调区间及单调性(不用证明);
(3)指出函数的值域.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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