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已知圆C的方程为:(x+1)2+(y-2)2=2. (1)过原点斜率为k的直线与...

已知圆C的方程为:(x+1)2+(y-2)2=2.
(1)过原点斜率为k的直线与圆C相交于A、B两点,若|AB|=2,求k的值;
(2)若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等,求切线l的方程.
由圆C的方程找出圆心C的坐标和半径r, (1)由直线过原点且斜率为k,设出直线的方程为y=kx,利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线的距离d,由已知|AB|的长,以及圆的半径r,利用垂径定理及勾股定理求出圆心C到直线的距离d,可列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值; (2)分两种情况考虑:①当切线l过原点时,设切线l的方程为y=kx,利用点到直线的距离公式求出圆心C到切线l的距离d,根据直线与圆相切时圆心到直线的距离d=r,列出关于k的方程,求出方程的解即可确定出此时切线l的方程;②当切线l不过原点时,设切线l的方程为x+y-a=0,根据d=r,利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,确定出此时切线的方程,综上,得到所有满足题意的切线l的方程. 【解析】 由圆的方程(x+1)2+(y-2)2=2,得到圆心C的坐标为(-1,2),半径r=, (1)设直线的方程为y=kx,即kx-y=0, ∵r=,|AB|=2, ∴圆心C到直线的距离d==1,又d=, ∴=1,即(k+2)2=k2+1, 解得:k=-; (2)分两种情况考虑: ①若切线l过原点,设l方程为y=kx,即kx-y=0, 则由C(-1,2)到l的距离d==r=,即(k+2)2=2k2+2, 解得:k=2±, ∴此时切线l的方程为y=(2±)x; ②若切线l不过原点,设l的方程为x+y-a=0, 则由C(-1,2)到l的距离d==r=,即|a-1|=2, 可得a-1=2或a-1=-2,解得:a=3或a=-1, ∴此时切线方程为x+y-3=0或x+y+1=0, 综上,切线l的方程为y=(2±)x或x+y-3=0或x+y+1=0.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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