Question

已知数列{a_n}满足．
（1）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和S_n，求使得S_n＞21-2n成立的最小整数n．

Answer

（1）由an+2+2an-3an+1=0，得an+2-an+1=2（an+1-an），数列{an+1-an}就以a2-a1=3不首项，公比为2的等比数列，由此能够求出数列{an}的通项公式．
（2）利用分组求和法得Sn=3（2n-1）-2n＞21-2n，由眦能求出使得Sn＞21-2n成立的最小整数．
（1）证明：
∴an+2-an+1=2（an+1-an），a2-a1=3
∴数列{an+1-an}是以3为首项，公比为2的等比数列，
∴an+1-an=3•2n-1（3分）
∴n≥2时，
an-an-1=3•2n-2，

…
a3-a2=3•2，
a2-a1=3，
以上n-1个式子累加得an-a1=3•2n-2+3•2n-3+…+3•2+3=3（2n-1-1）
∴an=3•2n-1-2
当n=1时，也满足
从而可得（6分）
（2）【解析】
由（1）利用分组求和法得
Sn=（3•2-2）+（3•21-2）+…（3•2n-1-2）
=3（2+21+…+2n-1）-2n
=-2n
=3（2n-1）-2n（9分）
Sn=3（2n-1）-2n＞21-2n，
得3•2n＞24，即2n＞8=23，
∴n＞3
∴使得Sn＞21-2n成立的最小整数4．（12分）