Question

若对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，例如g（3）=3，g（20）=5，并且g（2m）=g（m）（m∈N^*），设
（Ⅰ）求S₁、S₂、S₃；
（Ⅱ）求S_n；
（III）设，求证数列{b_n}的前n顶和．

Answer

（Ⅰ）由对于正整数k、g（k）表示k的最大奇数因数，g（2m）=g（m）（m∈N*），S1=g（1）+g（2），S2=g（1）+g（2）+g（3）+g（4），S3=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8），能求出S1，S2，S3．
（Ⅱ）由g（2m）=g（m），n∈N+，知=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]=[1+3+5+…+（2n-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2n-1）]，得，由此能求出Sn．
（Ⅲ）由，用裂项求和法能证明数列{bn}的前n顶和．
【解析】
（Ⅰ）S1=g（1）+g（2）=1+1=2（1分）
S2=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6（2分）
S3=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）
=1+1+3+1+5+3+7+1=22…（3分）
（Ⅱ）∵g（2m）=g（m），n∈N+…（4分）
∴
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2n-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2n）]
=[1+3+5+…+（2n-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2•2n-1）]…（5分）
=…（6分）
=4n-1+Sn-1…（7分）
则，
∴Sn=（Sn-Sn-1）+（Sn-1-Sn-2）+…+（S2-S1）+S1…（8分）
=4n-1+4n-2+…+42+4+2
=…（9分）
（Ⅲ），…（10分）
=
=…（11分）
∴当n=1时，成立  …（12分）
当n≥2时，…（13分）
∴，
∴．…（14分）