Question

已知二次函数y=-x²+mx-1和点A（3，0），B（0，3），求二次函数的图象与线段AB有两个不同交点的充要条件．

Answer

首先求出线段AB所在的方程，分两个方面，必要性和充分性，必要性：联立方程，根据二次函数的图象与线段AB有两个不同交点求出m的范围；充分性，根据m的取值范围，倒推二次函数的图象与线段AB有两个不同交点，可以根据求根公式求出x1，x2，然后再判断；
【解析】
①必要性：由已知得，线段AB的方程为y=-x+3（0≤x≤3）…（1分）
由于二次函数图象和线段AB有两个不同的交点，
所以方程组*（1）有两个不同的实数解．…（2分）
消元得：x2-（m+1）x+4=0（0≤x≤3），设f（x）=x2-（m+1）x+4，
则有…（8分）
②充分性：∵当3＜m≤时，由①知，x2-（m+1）x+4=0
∴x1=＞0 …（10分）…（12分）
∴方程x2-（m+1）x+4=0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2≤3，方程组（1）有两组不同的实数解．…（13分）
因此，抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同交点的充要条件3＜m≤．…（14分）．