Question

已知对任意x．y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-t（t为常数）并且当x＞0时，f（x）＜t
（1）求证：f（x）是R上的减函数；
（2）若f（4）=-t-4，解关于m的不等式f（m²-m）+2＞0．

Answer

（1）设出两个自变量，将一个自变量用另一个自变量表示，利用已知条件，比较出两个函数值的大小，利用函数单调性的定义得证．
（2）将自变量4用2+2表示，利用已知条件求出f（2）值，将不等式中的-2用f（2）代替，利用函数的单调性将不等式中的法则脱去，解二次不等式求出m的范围．
【解析】
（1）证明：设x1＜x2则
f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-t-f（x1）=f（x2-x1）-t
∵x2-x1＞0
∴f（x2-x1）＜t
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）是R上的减函数
（2）f（4）=f（2）+f（2）-t=-4-t
∴f（2）=-2
由f（m2-m）＞-2=f（2）
得m2-m＜2
解之得：原不等式解集为{m|-1＜m＜2}