Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求二面角C₁-AB-C的余弦值．

Answer

解法一：
（1）要证AC⊥BC1，可通过证出AC⊥平面BCC1实现．由已知，易证AC⊥BC，AC⊥C1C，所以AC⊥平面BCC1成立．
 （2）令BC1交CB1于点O，连接OD，可知O、D是△AC1B的中位线，得出OD，利用线面平行的判定定理证出AC1∥平面CDB1；
（3）过C点作CE⊥AB于E，连接C1E，可以证出∠CEC1（或其补角）即是C1-AB-C的平面角，在△CEC1中求解即可．
 解法二：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以C为原点建立空间直角坐标系；利用向量的工具求解．
（1）通过=0，证明AC⊥BC1；
 （2）求出平面CDB1的一个法向量，，通过⊥来证明AC1∥平面CDB1；
 （3）分别求出平面ABC，平面CDB1的一个法向量，利用两法向量的夹角求出二面角C1-AB-C的余弦值．
解法一：（1）证明∵AC=3，BC=4，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥C1C，
又BC∩C1C=C，∴AC⊥平面BCC1，
又BC1⊂平面BCC1，∴AC⊥BC1．
（2）证明：如图，令BC1交CB1于点O，连接OD，
∵O、D分别是BC1和AB的中点，
∴OD，又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1
（3）【解析】
过C点作CE⊥AB于E，连接C1E，
∵CC1⊥AB，CE⊥AB，∴∠CEC1（或其补角）即是C1-AB-C的平面角，
在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，AB=5，由AB•CE=AC•BC得CE=，
∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥CE，∴△CEC1是Rt△，
又∵CC1=AA1=4，CE=，∴C1E=，
∴cos∠CEC1=，即二面角C1-AB-C的余弦值为．
解法二：∵AC=3，BC=4，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以C为原点建立如图所示空间直角坐标系；
（1）由题意有A（3，0，0），C（0，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），
∴=（0，-4，4），∴=（-3，0，0）•（0，-4，4）=0，
∴⊥，即AC⊥BC1．
（2）∵D（（0，4，4），
∴=（0，4，4），
令平面CDB1的一个法向量为
∴，
∴=-3×4+0+1×4=0，∴⊥，
又AC⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．
（3）令平面ABC1的一个法向量为，
∵=（-3，0，4），
∴由，
∴，1，1），
易知平面ABC的一个法向量为=（0，0，4），
∵，
∴，
所以二面角C1-AB-C的余弦值即为．