Question

已知数列{a_n}，其前n项和为（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}是等差数列；
（II）设c_n=，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer

（I）由（n∈N*）．能导出an=3n+2，n∈N*．由an-an-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3，n≥2，n∈N*，能证明数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列．
（II）由an=3n+2，知cn==，由裂项求和法能求出Tn=．由此能求出使不等式对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
【解析】
（I）∵（n∈N*）．
∴当n=1时，a1=S1=5，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
=
=3n+2．
∵a1=5满足an=3n+2，
∴an=3n+2，n∈N*．
∵an-an-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3，n≥2，n∈N*，
∴数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列．
（II）∵an=3n+2，
∴cn=
=
=，
∴
=
=．
∵，n∈N*，
∴Tn单调递增．
∴．…（11分）
∴，解得k＜19，因为k是正整数，
∴kmax=18． …（12分）