Question

已知f（x）是偶函数，x∈R，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，若f（2）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=（ ）
A．-1003
B．1003
C．1
D．-1

Answer

根据将f（x）的图象向右平移一个单位得到一个奇函数，即f（x-1）是奇函数，跟据f（x）是偶函数，得到f（（x-1）+4）=f（x-1），求出函数f（x）周期为4，要求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）的值，即要求501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）的值，而由函数f（x）是R上的0偶函数，以及f（x-1）是奇函数，令x=0，1可求得（1）、f（0）、f（3）的值．从而求得结论．
【解析】
∵将f（x）的图象向右平移一个单位得到一个奇函数，
即f（x-1）是奇函数，∴f（-x-1）=-f（x-1），
又f（x）是偶函数，∴f（-x-1）=f（x+1），
∴f（x+1））=-f（x-1），
∴f（（x-1）+4）=-f（（x-1）+2）=f（x-1），可得f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）的周期为4，
∵平移前f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，x∈R，∴f（-1）=f（1）=f（3）=0，
f（0）=-f（-2）=-f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）=-1，
故选D．