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在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且2asinA=(2b+c)...

在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.
(Ⅰ)利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边,求得a,b和c关系式,代入余弦定理中求得cosA的值,进而求得A. (Ⅱ)把(Ⅰ)中a,b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦,与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值,进而根据C,B的范围推断出B=C,可知△ABC是等腰的钝角三角形. 【解析】 (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c 即a2=b2+c2+bc 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA 故 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 变形得=(sinB+sinC)-sinBsinC 又sinB+sinC=1,得sinBsinC= 上述两式联立得 因为0°<B<90°,0°<C<90°, 故B=C=30° 所以△ABC是等腰的钝角三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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