Question

在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l₁被直线l：反射，反射光线l₂交y轴于B点．圆C过点A且与l₁、l₂相切．
（1）求l₂所在的直线的方程和圆C的方程；
（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．

Answer

（Ⅰ）直线l1：y=2，设设l1交l于D，则D（2，2）．由l的倾斜角为30°知反射光线l2所在的直线方程为．已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），圆心C在过点D且与l垂直的直线上，知．由此能求出圆C的方程．
（Ⅱ）设点B（0，-4）关于l的对称点B'（x，y），则，，得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为B'C-3．由此能求出 PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．
【解析】
（Ⅰ）直线l1：y=2，
设l1交l于D，则D（2，2）．
∵l的倾斜角为30°，
∴l2的倾斜角为60°，…（2分）
∴，
∴反射光线l2所在的直线方程为y-2=（x-2）．
即．…（4分）
已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），
∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，
∴①…（6分）
又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，
∴②，
由①②得，
圆C的半径r=3．
故所求圆C的方程为．    …（10分）
（Ⅱ）设点B（0，-4）关于l的对称点B'（x，y），
则，…（12分）
得．
固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，
故PB+PQ的最小值为为B'C-3．               …（14分）
，
得，
最小值． …（16分）