Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a_n≠0，a₁为常数，且-a₁、S_n、a_n+1成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=1-S_n，问：是否存在a₁，使数列{b_n}为等比数列？若存在，求出a₁的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）先根据-a1、Sn、an+1成等差数列得到2Sn=an+1-a1；再结合前n项和与通项之间的关系整理即可得an+1=3an（n≥2）；得到数列{an}是首项为a1、公比为3的等比数列即可求出{an}的通项公式；
（Ⅱ）先求出数列{bn}的通项公式；结合其通项公式即可求出对应的a1的值．
【解析】
（Ⅰ）依题意，得2Sn=an+1-a1．于是，当n≥2时，有．
两式相减，得an+1=3an（n≥2）．
又因为a2=2S1+a1=3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1、公比为3的等比数列．
因此，an=a1•3n-1（n∈N*）；
（Ⅱ）因为，
所以．
要使{bn}为等比数列，当且仅当，即a1=-2．