Question

如图，点A在锐二面角α-MN-β的棱MN上，在面α内引射线AP，使AP与MN所成的∠PAM为45°，与面β所成的角为30°，求二面角α-MN-β的大小    °．

Answer

求二面角平面角的大小，关键是找（作出）出二面角的平面角，本题可以利用定义法寻找．过点P作平面β的垂线PB，垂足为B，过点B作BC垂直于MN，连接PC，根据条件可以证得∠PCB为二面角α-MN-β的平面角，再分别在△PBA，△PCA，△PCB中，可求二面角α-MN-β的平面角．
【解析】
过点P作平面β的垂线PB，垂足为B，过点B作BC垂直于MN，连接PC
∵PB⊥β，MN⊂β，∴PB⊥MN
∵MN⊥BC，∴∠PCB为二面角α-MN-β的平面角
设PB=1，在△PBA中，∠PAB=30°，∴PA=2
在△PCA中，∠PAC=45°，∴
在△PCB中，PB=1，，∴∠PCB=45°
故答案为45°