Question

设函数f（x）=x²+aln（x+1）
（Ⅰ）若a=-4，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若区间[0，1]上，函数f（x）在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当a=-4时，，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ），由函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，知2x2+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）对于方程2x2+2x+a=0，△=4-8a，当△≤0时，f'（x）＞0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意．当△＞0时，设x1，x2（x1＜x2）是方程2x2+2x+a=0的两个根，由此能求出实数a的取值范围．
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）a=-4，f（x）=x2-4ln（x+1）（x＞-1），
，（2分）
∴当-1＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递增，（5分）
（Ⅱ）
∵函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴2x2+2x+a＞0在[2，+∞）上恒成立，（8分）
令，则t≥12
∴a≥-12．（10分）
（Ⅲ）对于方程2x2+2x+a=0，△=4-8a
当△≤0时，f'（x）＞0，f（x）在区间[0，1]上单调递增不合题意
当△＞0时，设x1，x2（x1＜x2）是方程2x2+2x+a=0的两个根，（12分）
根据题意有x1＜0＜x2且f（0）＞f（1）
∴，解得a＜-log2e
∴实数a的取值范围为（-∞，-log2e）．（14分）