Question

已知函数f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）当a=1时，求函数f（x）在x∈[-3，0]的值域；
（2）若关于x的方程f（x）=0有解，求a的取值范围．

Answer

（1）由题意可得f（x）=2•4x-2x-1，令t=2x，则f（t）=2t2-t-1，由x∈[-3，0]可知t≤1，结合二次函数的性质可求
（2）由题意可得方程2at2-t-1=0在（0，+∞）上有解，结合二次函数的性质可考虑分类讨论：①当a=0时②当a＜0时，③当a＞0三种情况讨论可求
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=2•4x-2x-1，
令t=2x，则f（t）=2t2-t-1，
∵x∈[-3，0]
∴t≤1，f（t）=2
当t=时，函数有最小值，当t=1时，函数有最大值0
故值域为
（2）关于x的方程f（x）=0有解，等价于
方程2at2-t-1=0在（0，+∞）上有解
记f（t）=2at2-t-1（t＞0）
①当a=0时，解为t=-1，不成立
②当a＜0时，开口向下，对称轴t=＜0，过点（0，-1），可得根都为负数，不成立
③当a＞0时，开口向上，对称轴＞0，过（0，-1），必有一个根为正
综上得，a＞0