Question

已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
①x₁、x₂、x₁-x₂是定义域中的数时，有；
②f（a）=-1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0．
（1）判断f（x₁-x₂）与f（x₂-x₁）之间的关系，并推断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，2a）上的单调性，并证明；
（3）当函数f（x）的定义域为（-4a，0）∪（0，4a）时，
 ①求f（2a）的值；②求不等式f（x-4）＜0的解集．

Answer

（1）将x1-x2和x2-x1分别代入抽象表达式①，即可判断f（x1-x2）与f（x2-x1）之间互为相反数，并推断函数f（x）为奇函数
（2）利用已知条件③和函数单调性定义，即可证明函数f（x）在（0，2a）上为单调增函数
（3）①令x1=a，x2=-a，代入抽象表达式结合f（a）=-1即可得f（2a）的值；②先证明函数f（x）关于点（2a，0）对称，进而判断函数f（x）在（-4a，0）和（0，4a）上的单调性，最后利用单调性解不等式即可
【解析】
（1）不妨令x=x1-x2，则=-f（x1-x2）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）在（0，2a）上任取两个实数x1、x2，
且x1＜x2，则有，
∵0＜x＜2a时，f（x）＜0，
∴f（x2）＜0且f（x1）＜0，
故f（x2）f（x1）＞0，
即f（x2）f（x1）+1＞0；
∵0＜x1＜2a，0＜x2＜2a且x1＜x2，∴0＜x2-x1＜2a，
即有f（x2-x1）＜0；
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，2a）上是增函数；
（3）①由题意可得：=，
②∵f（2a-x）==，f（2a+x）===
∴f（2a-x）=-f（2a+x）
∴函数关于（2a，0）对称
由（2）知f（x）在（0，2a）上是增函数；
∴f（x）在（2a，4a）上也是增函数，
∴f（x）在（0，4a）上是增函数；在（-4a，0）上也是增函数
当x-4∈（0，4a）时，f（x-4）＜0⇔f（x-4）＜f（2a）⇔x-4＜2a，
∴0＜x-4＜2a，即4＜x＜2a+4
当x-4∈（-4a，0）时，f（x-4）＜0⇔f（x-4）＜f（-2a）⇔x-4＜-2a，
∴-4a＜x-4＜-2a，即4-4a＜x＜4-2a
所以不等式的解集是（4-4a，4-2a）∪（4，2a+4）．