Question

已知函数f（x）=lg（1+2x），F（x）=f（x）-f（-x）．
（1）求函数F（x）的定义域；
（2）当时，总有F（x）≥m成立，求m的取值范围．

Answer

（1）由题意可知：1+2x＞0且1-2x＞0，可求函数F（x）的定义域
（2）由题意可知，由F（x）≥m成立，则只要m≤F（x）min，结合对数函数的性质可求
【解析】
（1）由题意可知：F（x）=lg（1+2x）-lg（1-2x），
∴1+2x＞0且1-2x＞0，
即，
所以函数F（x）的定义域是；
（2）由题意可知，
设，则有 ；
当时有：0≤2x＜1，即-1＜-2x≤0，
则有0＜1-2x≤1，则，
故而，；
∴u（x）min=1，F（x）min=lg1=0；
又由题意可得：m≤F（x）min，
∴m≤0．