Question

对于函数f（x）=-2x²+k，当实数k属于下列选项中的哪一个区间时，才能确保一定存在实数对a，b（a＜b＜0），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，其值域也恰好是[a，b]（ ）
A．[-2，0）
B．
C．
D．

Answer

函数f（x）=-2x2+k的图象开口向下，对称轴为y轴，若存在实数对a，b（a＜b＜0），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，其值域也恰好是[a，b]，从而-2a2+k=a，-2b2+k=b，所以方程2t2+t-k=0有两个不等的负根a，b，进而可求实数k的区间．
【解析】
由题意，函数f（x）=-2x2+k的图象开口向下，对称轴为y轴，函数图象在y轴右侧递减
若存在实数对a，b（a＜b＜0），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，其值域也恰好是[a，b]，
则-2a2+k=a，-2b2+k=b
∴方程2t2+t-k=0有两个不等的负根a，b
∴
∴
故选D．