Question

已知数列{a_n}满足：．
（1）求a₂，a₃，a₄；并证明：a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），m∈N^*
（2）设（n≥2，n∈N^*）
①证明：对任意x∈R，当时，
②证明：当，f_2n+1（x）对任意x∈R和自然数n（n≥2）都有f_2n+1（x）＞0．

Answer

（1）将已知条件化简为an+1=[1+]an+，而a1=-1，可求得a2，a3，a4；并能证明：a2m+1+2=2（a2m-1+2），m∈N*
（2）①讨论r，在r≠0的情况，利用二次函数的最值，结合r的范围运用放缩法证明；
②利用放缩法将所求转化，并运用等比数列求和，再结合r的范围放缩证明．
【解析】
（1）∵an+1=[1+]an+，a1=-1，
∴a2=a1+1=0，a3=2a2=0，a4=a3+1=1；
a2m+1=2a2m=2a（2m-1）+1
=2{[1+]a2m-1+}
=2（a2m-1+1），
∴a2m+1+2=2a2m-1+4=2（a2m-1+2）．m∈N*
（2）由（1）可得：a2m+1+2是以1为首项，2为公比的等比数列，故a2m+1+2=2m，
∴a2m+1=2m-2，
∴fn（x）=+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+…+rn-1cos2n-2x．（n≥2，n∈N*）
①证明：1°当r=0时，显然0≥-，
2°当r≠0时，设φ（x）=rcosx+r2cos2x=r2（2cos2x-1）+rcosx
=．（）
当时，，∀x∈R，∀n∈N*（n≥2），
②证明：
=
≥
≥
=．