Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+4），当x∈[6，8]时，f（x）=cos（x-6）
（1）求x∈[-2，2]时，f（x）的表达式；
（2）若，求θ的取值范围．

Answer

（1）先利用函数的周期性求出x∈[-2，0]时函数的解析式，再利用函数的奇偶性求出函数x∈（0，2]时的解析式，即可得函数f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）利用函数的对称性和单调性，发现此函数在[-2，2]上自变量的绝对值越小函数值越大，故将不等式转化为绝对值三角不等式，即可解得θ的范围．
【解析】
（1）设x∈[-2，0]，则x+8∈[6，8]，
∴f（x+8）=cos（x+2）
∵f（x）=f（x+4），
∴f（x+8）=f（x+4）=f（x）
∴x∈[-2，0]时，f（x）=cos（x+2）
设x∈（0，2]，则-x∈[-2，0），
∴f（-x）=cos（-x+2）
∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴x∈（0，2]时，f（x）=cos（-x+2）
∴f（x）=
（2）∵-2＜sinθ+cosθ＜2，
且由（1）知f（x）在[-2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，函数图象关于y轴对称
∴
⇔|sinθ+cosθ|＜||
⇔（sinθ+cosθ）2＜1+2sin2θ
⇔1+sin2θ＜1+1-cos2θ
⇔sin2θ+cos2θ＜1
⇔sin（2θ+）＜1
⇔sin（2θ+）＜
∴-+2kπ＜2θ+＜2kπ+  （k∈Z）
∴-+kπ＜θ＜kπ  （k∈Z）