Question

数列{a_n}满足，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设ln（1+x）＜x在x＞0时成立，数列{a_n}的前n项和为S_n，证明．

Answer

（1）利用已知条件，推出是首项为-2，公差为-1的等差数列．求出通项公式，然后求解即可．
（2）利用ln（1+x）＜x在x＞0时成立，推出数列an＜1-ln（n+2）+ln（n+1），的关系式，通过数列消项求和，推出结果．
【解析】
（1）∵，，
∴=，
∴=-1+，
∴是首项为-2，公差为-1的等差数列．
∴，所以．
数列{an}的通项公式为．
（2）∵ln（1+x）＜x在x＞0时成立，
从而ln（1+），ln（1+），
∴＜1-ln（n+2）+ln（n+1），
Sn＜（1-ln3+ln2）+（1-ln4+ln3）+…+[1-ln（n+2）+ln（n+1）]=n+ln（n+2）-ln2=n-ln（）
∴