Question

已知f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意实数x有f（1+x）=f（1-x），若f（1）=2，则f（2010）+f（2011）=（ ）
A．-2
B．2
C．0
D．4021

Answer

由函数的奇偶性和f（1+x）=f（1-x），推导出函数的周期，再用周期性把f（2010）+f（2011）转化，根据f（0）=0和f（1）=2即可求值
【解析】
∵f（x）是定义域为R的奇函数
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x）
∴f（1-x）=-f（x-1）
又∵f（1+x）=f（1-x）
∴f（1+x）=-f（x-1）
∴f（x+2）=-f（x）且f（x+4）=-f（x+2）
∴f（x+4）=f（x）
∴原函数的周期为T=4
∴f（2010）=f（2）
f（2011）=f（-1）
∵f（1+x）=f（1-x），且f（0）=0
令x=1得f（2）=f（0）=0
又∵f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1）=2
∴f（-1）=-f（1）=-2
∴f（2010）+f（2011）=0+（-2）=-2
故选A