Question

已知点P为圆周x²+y²=4的动点，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）
（1）求动点E的轨迹方程C；
（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；
（3）是否存在方向向量的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）欲求动点E的轨迹方程，设E（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用P（x，2y）点在圆上，即可得到答案；
（2）根据三角形的面积公式得，欲求面积的最大值，只须考虑|xB|的最大值即可．由此求出直线l的方程；
（3）先假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式，求出k的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）设E（x，y），则P（x，2y），而P点在圆上
所以x2+4y2=4，即
（2）
而|xB|≤2，故当xB=±2时，△OAB面积的最大值为1
此时，直线l的方程为：x-2y+2=0或x+2y-2=0
（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，
M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点Q（x，y）
于是⇒（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
△=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-4）＞0
4k2-m2+1＞0…①
而
故
从而

而
故kAQ•k=-1
可得：3m=-4k2-1…②
由①②得：-3＜m＜0
故