Question

已知椭圆的焦点为F₁、F₂，抛物线y²=px（p＞0）与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F₁QF₂=60°．
（1）求△F₁QF₂的面积；
（2）求此抛物线的方程．

Answer

（1）由Q在椭圆上，知|QF1|+|QF2|=4．在△QF1F2中，，所以，由此能求出△F1QF2的面积．
（2）设Q（x，y）（x＞0，y＞0），，故．又Q点在椭圆上，所以，故．由Q点在抛物线上，能求出抛物线方程．
【解析】
（1）∵Q在椭圆上，
∴|QF1|+|QF2|=4，
∴=16，…①
在△QF1F2中，∵∠F1QF2=60°，
∴…②
①-②，得：，
∴．
（2）设Q（x，y），（x＞0，y＞0）
由（1）知，=，
∵|F1F2|=2c=2=2，
∴，
故，
又Q点在椭圆上，所以，
即，
故．
又Q点在抛物线上，
所以，
∴，
所以抛物线方程为．