Question

已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y²=2mx（m＞0）于A、B两点，若A、B两点满足∠AQP=∠BQP，其中Q（-4，0），原点O为PQ的中点．
①求证：A、P、B三点共线；
②当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，使得l′被以AP为直径的圆所截得的弦长为定值，如果存在，求出l′的方程，如果不存在，请说明理由．

Answer

①先根据∵∠AQP=∠BQP且显然是锐角得到tan∠AQP=tan∠BQP．即KAQ=-kBQ，从而得到点A，B之间的关系，再求出直线AP与PB的斜率即可证明结论；
②设出直线方程以及点A的坐标和以AP为直径的圆心C圆心坐标；再求出对应弦长，即可求出结论．
【解析】
①证明：由题意可设A（，y1）：B（，y2），P（4，0）．
∵∠AQP=∠BQP且显然是锐角
∴tan∠AQP=tan∠BQP．即KAQ=-kBQ，
即⇒y1y2（y1+y2）=-8m（y1+y2）．
∵L不垂直于x轴，
∴y1+y2≠0，y1y2=-8m．
∴kAP===，
∵kBP==kAP
∴A，P，B三点共线．
②假设满足题意l′的存在，设l′：x=n，A（x1，y1），则y12=4x1，
∴以AP为直径的圆心C（，），
则l′被圆C截得的弦长=2=2．
当n=3时，弦长为定值2．
故存在满足题意的直线l′：x=3．