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设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn (Ⅰ)证明:当...

设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn
(Ⅰ)证明:当b=2时,{an-n•2n-1}是等比数列;
(Ⅱ)求{an}的通项公式.
(Ⅰ)当b=2时,由题设条件知an+1=2an+2n.由此可知an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1),所以{an-n•2n-1}是首项为1,公比为2的等比数列. (Ⅱ)当b=2时,由题设条件知an=(n+1)2n-1;当b≠2时,由题意得=,由此能够导出{an}的通项公式. 【解析】 由题意知a1=2,且ban-2n=(b-1)Snban+1-2n+1=(b-1)Sn+1 两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1 即an+1=ban+2n① (Ⅰ)当b=2时,由①知an+1=2an+2n 于是an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1) 又a1-1•2=1≠0,所以{an-n•2n-1}是首项为1,公比为2的等比数列. (Ⅱ)当b=2时,由(Ⅰ)知an-n•2n-1=2n-1,即an=(n+1)2n-1 当b≠2时,由①得== 因此= 即 所以
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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