Question

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1；  
（Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）¹+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=；，由左边可求得x²的系数为C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²，利用右式可得x²的系数为C_n+1³，所以C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²=C_n+1³．请利用此方法证明：（C_2n）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ．

Answer

（Ⅰ）分析右式，将组合数公式展开，可得=，利用组合数可得与左式相等，即可证明原式，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：mCnm=nCn-1m-1，则左式可以变形为nCn-1+nCn-11+nCn-12+…+nCn-1n-1，进而可以变为n（Cn-1+nCn-11+nCn-12+…+nCn-1n-1），由二项式系数的性质，可变形为n•2n-1，即可证明原式；
（Ⅲ）根据题意，构造等式（x-1）2n•（x+1）2n=（x2-1）2n，分别从左式和右式求得x2n的系数，令其相等，即可证明原式．
证明：（Ⅰ）右式===Cnm=左式，
原等式可得证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：mCnm=nCn-1m-1，
故左式=nCn-1+nCn-11+nCn-12+…+nCn-1n-1=n（Cn-1+nCn-11+nCn-12+…+nCn-1n-1）=n•2n-1；
原等式可得证明； 
（Ⅲ）根据题意，构造等式（x-1）2n•（x+1）2n=（x2-1）2n，
由左式可得x2n的系数为C2n2n•（-1）2nC2n+C2n2n-1•（-1）2n-1C2n1+C2n2n-2•（-1）2n-2C2n2+…+C2n•（-1）C2n2n，
即（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2，
由右式可得得x2n的系数为（-1）nC2nn，
故有（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn，
原等式可得证明．