Question

已知定义域为R的奇函数f（x）满足．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）根据奇函数有f（0）=0，可求出a，换元后得出
（2）直接利用函数单调性的证明步骤进行证明
（3）将不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，转化为t2-2t＞k-2t2，再利用二次函数的性质求解．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为R，又f（x）满足f（-x）=-f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
在中令x=1得出f（0）=0，所以a=1
令log2x=t，则x=2t，y=f（t）=（t∈R）
所以
（2）减函数
证明：任取 x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2-x1＞0，
由（1）
∵x1＜x2，
∴，
∴
∴f（ x2）-f（ x1）＜0
∴该函数在定义域R上是减函数
（3）由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x）是奇函数∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），由（2），f（x）是减函数
∴原问题转化为t2-2t＞k-2t2，
即3t2-2t-k＞0对任意t∈R恒成立∴△=4+12k＜0，得即为所求．