Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+4x-3，当x=-2时，函数f（x）有极值．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）求函数f（x）过点P（1-2）的切线方程．

Answer

（1）求出导函数，根据极值点处的导数为0，列出方程求出a的值，将其代入导函数，令其小于0，求出a的范围，写成区间即为函数f（x）的单调减区间．
（2）先判断出P（1，-2）在曲线上，求出导函数在x=1处的值即为切线的斜率，利用点斜式写出切线方程．
【解析】
（1）∵f'（x）=-3x2+2ax+4，
由题意，则f'（-2）=0，
即-12-4a+4=0，解得a=-2，
∴f（x）=-x3-2x2+4x-3．-----------------（2分）
由f'（x）=-3x2-2x+4＜0，得3x2+2x-4＞0，
解得，或x＜-2，
∴函数f（x）的单调减区间为．---------------（6分）
（2）∵P（1，-2）在曲线上，
∴k=y′|x=1=（-3x2-4x+4）|x=1=-3--（10分）
∴切线方程为：y+2=-3（x-1），
即：y=-3x+1----------------（12分）