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已知椭圆 (常数m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C上的右顶点,定点A的坐标...

已知椭圆manfen5.com 满分网 (常数m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C上的右顶点,定点A的坐标为(2,0)
(1)若M与A重合,求曲线C的焦点坐标;
(2)若m=3,求|PA|的最大值与最小值;
(3)若|PA|的最小值为|MA|,求实数m 的取值范围.
(1)根据题意,若M与A重合,即椭圆的右顶点的坐标,可得参数a的值,已知b=1,进而可得答案; (2)根据题意,可得椭圆的方程,变形可得y2=1-;而|PA|2=(x-2)2+y2,将y2=1-代入可得,|PA|2=-4x+5,根据二次函数的性质,又由x的范围,分析可得,|PA|2的最大与最小值;进而可得答案; (3)设动点P(x,y),类似与(2)的方法,化简可得|PA|2=(x-)2++5,且-m≤x≤m;根据题意,|PA|的最小值为|MA|,即当x=m时,|PA|取得最小值,根据二次函数的性质,分析可得,≥m,且m>1;解可得答案. 【解析】 (1)根据题意,若M与A重合,即椭圆的右顶点的坐标为(2,0); 则a=2;椭圆的焦点在x轴上; 则c=; 则椭圆焦点的坐标为(,0),(-,0); (2)若m=3,则椭圆的方程为+y2=1; 变形可得y2=1-, |PA|2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+y2=-4x+5; 又由-3≤x≤3, 根据二次函数的性质,分析可得, x=-3时,|PA|2=-4x+5取得最大值,且最大值为25; x=时,|PA|2=-4x+5取得最小值,且最小值为; 则|PA|的最大值为5,|PA|的最小值为; (3)设动点P(x,y), 则|PA|2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+y2=(x-)2++5,且-m≤x≤m; 当x=m时,|PA|取得最小值,且>0, 则≥m,且m>1; 解得1<m≤1+.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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