Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）上的一点（m，1）到焦点的距离为．点P（x，y）是抛物线上任意一点（除去顶点），过点M₁（0，-1）与P的直线和抛物线交于点P₁，过点M₂（0，1）与的P直线和抛物线交于点P₂．分别以点P₁，P₂为切点的抛物线的切线交于点P′．
（I）求抛物线的方程；
（II）求证：点P′在y轴上．

Answer

（Ⅰ）由抛物线的定义可得 1+，可求抛物线的方程
（II）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）由导数的几何意义可求以点P1为切点的抛物线的切线方程为y-y1=2x1（x-x1），结合，可得，P2为切点的抛物线的切线方程为，从而可求P′，由直线PM1的方程及抛物线方程可求则由方程的根与系数关系可得，，同理可得可证
（Ⅰ）【解析】
由题意得  1+，
∴
所以抛物线的方程为y=x2…（6分）
（II）证明：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）因为y′=2x
则以点P1为切点的抛物线的切线方程为
y-y1=2x1（x-x1）      又，所以…（9分）
同理可得以点P2为切点的抛物线的切线方程为
由解得x=…（11分）
又过点P（x，y）与M1（0，-1）的直线的斜率为
所以直线PM1的方程为
由得
所xx1=1，即…（13分）
同理可得直线PM2的方程
由得     
 所以xx2=-1，即
则=0，即P′得横坐标为0，
所以点P′在y轴上…（15分）