Question

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n+3n-4（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1-a_n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）欲证数列为等比数列，只需证明数列的后一项与前一项的比为常数，根据an+1=2an+3n-4（n∈N*），令n=n-1，再构造数列{an+1-an+3}，计算，看是否为常数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中所证数列{an+1-an+3}是等比数列，先求出数列{an+1-an+3}的通项公式，再求出{an}的通项公式即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）中求出的数列{an}的通项公式，利用分组法求数列{an}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵an+1=2an+3n-4（n∈N*）∴当n≥2时，an=2an-1+3n-7
两式相减，得，an+1-an=2（an-an-1）+3，即，an+1-an+3=2（an-an-1+3）
∴=2
∴数列{an+1-an+3}是公比为2的等比数列
（Ⅱ）∵数列{an+1-an+3}是公比为2的等比数列，且a1=-1，a2=-3
∴a2-a1+3=1∴an+1-an+3=2n-1，
an+1-an=2n-1-3
∴an+-an-1=2n-2-3
an-1-an-2=2n-3-3
…
a2-a1=2-3
∴an+1-a1=
∴；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴Tn．=+++…+
=+2n-3n2=