Question

如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱中点为E，
（1）求证：PA∥截面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥截面BDE；
（3）如果PA=5，AB=，求PA与平面BDE的距离．

Answer

（1）先根据中位线定理得到OE∥AP，进而再由线面平行的判定定理可得到PA∥平面BDE．
（2）先根据线面垂直的性质定理得到PO⊥BD，结合AC⊥BD根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，从而根据面面垂直的判定定理得到平面PAC⊥平面BDE，得证．
（3）由（2）知，平面PAC⊥平面BDE，得到PA到平面BDE的距离即为PA与OE之间的距离，过O作OF⊥PA，F为垂足，根据等面积法得到结果．
【解析】

（1）连接OE，∵OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA
又OE⊂平面BDE，∴AP∥截面BDE---------------------------------------------------------4′
（2）连接PO，∵P-ABCD时正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD
∴BO⊥PO；又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC
又BD⊂平面DBE∴平面PAC⊥截面BDE---------------------------------------------------9′
（3）由（2）知，平面PAC⊥平面BDE
∴PA到平面BDE的距离即为PA与OE之间的距离
过O作OF⊥PA，F为垂足
∴OF=，∵AO=3，PO=4，∴OF=
即PA 与平面BDE 的距离为-------------------------------------------------------------14′