Question

已知函数，m，a，b∈R．
（Ⅰ）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求的最小值；
（Ⅱ）当a=1，时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．

Answer

（I）由m=1，我们可以求出函数f（x）及f'（x）的解析式（含参数a，b），由函数f（x）是R上的增函数，f'（x）≥0恒成立，根据二次函数恒成立的条件，可得a2+b2≤1，进而求出的最小值；
（Ⅱ）由已知中a=1，，我们易求出函数f（x）及导函数f′（x）的解析式，分别讨论m＜0，m=0，m＞0三种情况下m的取值范围，综合讨论结果即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=mx2+2ax+（1-b2）．    
因为函数f（x）是R上的增函数，所以f'（x）≥0在R上恒成立．
则有△=4a2-4（1-b2）≤0，即a2+b2≤1．
设（θ为参数，0≤r≤1），
则
当，且r=1时，取得最小值-2．
（Ⅱ）当a=1，时，
f'（x）=mx2+2x-2
①当m＞0时，f'（x）=mx2+2x-2是开口向上的抛物线，
显然f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使得f'（x）＞0，所以m的取值范围是（0，+∞）．
②当m=0时，显然成立．
③当m＜0时，f'（x）=mx2+2x-2是开口向下的抛物线，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使f'（x）＞0，
应满足  或
解得．
则m的取值范围是．